[笔记]数列的极限1

一些数学思想

$$数学\begin{cases}代数\\几何\\分析\end{cases}$$

一个重要的思想：==逼近思想==

实例：$\pi$

极限是反映逼近思想的最基本概念

高中里与逼近思想有关的例子

• 渐近线
• 倒数

数列的极限

数列：

1. 一组数 $a_1,a_2,a_3,…..a_n$
2. 一组数到自然数的映射

数列中的数是有顺序的

$数列 \begin{cases}有限\\无限\end{cases}$

如果没有特别说明，默认为有限数列，且为实数列

数列本质上是一个函数，自变量是$N^*$

一个数列在自变量为 $n$的时候的增长率为$\frac{a_{n+1}-a_n}{1}$

数列的表示

$\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$

容易引起误解的情况，应该指出自变量

如：

$\{C_n^k\}$

$\{a_{n,m}\}$

数列极限的定义

通俗说法：

设$a_n\in R,n=1,2,3….$如果当$n$越来越大时，$a_n$与$a \in R$，越来越接近，此时$a$叫做$a_n$的极限。

记作：$a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$

$a_n\to a,n\to \infty$

例 1

$a_n=\frac{1}{n},n=1,2,3,….$

$a_n \to 0$

==定义1==

数列的极限

$
设a_n\in R,n=1,2,3….,a\in R.如果\forall \varepsilon > 0,\exists N \in N^*$

$使得|a_n-a|<\varepsilon,\forall n\ge N, n\in N^*$

$则称a为\{a_n\}_{n=1}^\infty 的极限，记为a=\lim\limits_{n \to \infty}a_n
$

• $|a_n-a|$称为误差